A Corvinus Egyetem Matematika Tanszéke Algebra 2. kurzusának weblapja. A kurzus közvetlen előzménye: Algebra-1.
Jegyzetek
A tankönyv: Puskás Csaba, Dancs István: Vektorterek.
A könyvben sok sok minden van, amire nem jut majd időnk.
Ezért egy szűkített változat és a gyakorlatokon használt feladatgyűjtemény
Puskás tanárúr honlapjáról letölthető.
Egy előadásjegyzet szerű változatot én is írok, amely itt is elérhető.
Órarend a 2022-23 tanév tavaszi félévében
Előadás: Szerda 9.50-11.20, 11.40-13.10
Gyakorlat: Szerda 13.40-15.10, Csütörtök 9.50-11.10
Követemények
A legfontosabbak:
- Az órákon és a gyakorlatokon a megjelenés kötelező;
- Osztályzás:
- Négy darab dolgozatot írunk 5-5 pontért.
- A vizsgaidőszak első hetében esedékes dolgozat 30 pontért. Az így megszerezhető 50 pont képezi az írásbeli jegyet.
- A szóbeli vizsgán való részvétel feltétele, a megszerezhető 50 pontból legalább 7 pont. (Ez alatt automatikus elégtelen a szóbeli vizsga eredménye.)
- A vizsgaidőszakban szóbeli vizsga, a szóbeli és az írásbeli vizsga átlagaként kapják a végső jegyet.
- A vizsgán megbeszéljük az írásbeli dolgozat eredményét, így érdemes a gyakorlatokon vett feladatokat is átgondolni vizsga előtt.
Tételjegyzék
Az alábbi tételjegyzéket igyekeztem úgy összeállítani, hogy az időbeli sorrendet is kövesse.
- Lineáris transzformációk mártrixa
- Rang-defektus tétel következményei
- Injektív és szürjektív lineáris transzformációk
- Lineáris operáció megadása bázison
- Lineáris operációk vektortere
- Lineáris operáció mátrixa
- Operátorok szorzata
- A szorzat mátrixa
- Gyűrű-izomorfizmus
- Általános bázistranszformáció
- Vektor felírás új bázisban
- Mátrix felírása új bázisban
- Inverz mátrix
- Áttérés mátrixa
- Invariáns altér fogalma
- Generált invariáns altér belső és külső reprezentációja
- Ezek ekvivalenciája
- Egy vektor által generált invariáns altér meghatározása
- Egy dimenziós invariáns alterek
- Lineáris transzformációk polinomja
- Számolási szabályok
- Lineáris transzformáció, mint egy polinom gyöke
- Példák invariáns alterekre
- Kis-minimálpolinom fogalma
- Létezés és egyértelműség
- Kapcsolat egy egy vektor generálta invariáns altérrel
- Meghatározás eliminációval
- Kis-minimálpolinom többszörösei
- Irreducibilis eset
- Sajátérték és sajátvektor fogalma
- Definíciók
- Ekvivalens megfogalmazások
- Diagonalizálhatóság
- Különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlensége
- Szükséges és elegendő feltétel a diagonalizálhatóságra (sajátvektorokból álló bázis)
- Elegendő feltétel a diagonalizálhatóságra (különböző sajátértékek)
- Spektrum bevezetése
- Spektrum számossága
- Spektrum meghatározása paraméteres eliminációval
- Minimálpolinom fogalma
- Létezés és egyértelműség
- Meghatározás eliminációval
- Kis-minimálpolinom többszörösei
- Irreducibilis eset
- Kapcsolat a kis-minimálpolinommal
- Transzformációk redukálása
- A tér előáll mint invariáns alterek direktösszege
- Transzformációk redukálása irreducibilis minimálpolinom mellett
- A tér előáll mint azonos dimenziós invariáns alterek direktösszege
- Irreducibilis polinom magtere mint direktösszeg
-
A minimálpolinom foka legfeljebb a tér dimenziója
- Nillpotencia bevezetése
- Nillpotens transzformáció minimálpolinomja
- Nillpotencia rendje
- Lemmák a nillpotens felbontási tételhez
- Nillpotens felbontás
- A nillpotens felbontási tétel
- Nillpotens trannszformáció kanonikus alakja
-
Nillpotens transzformáció kanonikus alakjának egyértelműsége
- Jordan normálalak
- Visszavezetés a nillpotens kanonikus alakra
- Diagonalizálhatóság a minimálpolinom gyökeinek multiplicitása szerint
- Permutációk
- Bástyafelrakások
- Transzpozíciók
- Inverziók
- Permutáció paritása
- Multilineáris operátorok
- Antisszemtria és alternáló tulajdonságok
- Példa n-lineáris antiszimmetrikus függvényre
- Mátrix determinánsa, transzponált determinánsa
- Mértékek
- Tulajdonságok
- A mértékek tere
- Lineáris transzformáció determinánsa
- Kapcsolat a mátrixának determinánsával
- Szorzat-tétel
- Kifejtési tétel
- Sor vagy oszlop szerinti kifejtés
- Kofaktor mátrix
- Inverz mátrix felírása
- Cramer-szabály
- Karakterisztikus polinom
- Mátrix nyoma
- A nyom függetlensége a bázistól
- Karakterisztikus polinom
- A karakterisztikus polinom bizonyos együtthatói
- Kapcsolat a spektrummal
- Cayley-Hamilton-tétel
- Skaláris szorzatos terek bevezetése
- Definíciók, belső szorzat
- Merőlegesség tulajdonságai
- Bessel-egyenlőtlenség
- Schwartz-egyenlőtlenség
- Skalárisszorzat indukálta norma
- Távolság és hossz
- Pythagoras-tétel
- Pythagoras-tétel
- Pontnak altértől való távolsága
- Merőleges vetület
- Gramm-Schmidt ortogonalizáció
- Az algoritmus
- Ortonormált bázis létezése
- Projekciós tétel
- A tétel
- Lineáris burok reprezentációja mint dupla ortokomplementum
- Az ortokomplementer egyértelműsége
-
Riesz-reprezentáció
- Ortonomrált rendszer teljessége
- A teljesség
- Ekvivalens felírások
- Véges dimenziós térben csak egy rögzített bázis generálta belsőszorzattal lehet skalárisszorzatot definiálni.
- Az adjungált operátor
- Definíció
- Egyértelműség
- Az adjungált mátrixa
- Az adjungált tulajdonságai
- Az adjungált kapcsolata az ortogonalitással
- A tétel
- Rangtétel mint következmény
- Speciális eset önadjungált transzformációkra
- Projekciók és ortogonális projekciók
- Projekció
- Ortogonális projekció
- Merőleges vetület mint példa ortogonális projekcióra
- Merőleges vetület az egyetlen példa ortogonális projekcióra
- Önadjungált és idempotens transzformációk
- Ortogonális projekciók merőlegessége
- Merőlegesség fogalma és ekvivalens megfogalmazások
- Ortogonális projekciók összege
- Normális transzformációk
- Definíció
- Példák
- Normális operátor mag és képterének kapcsolata
- Normális operátor és adjungáltjának spektruma
- Normális operátor és adjungáltjának közös sajátvektora
- Diagonalizálhatóság
-
Egymásra merőleges ortogonális projekciók lineáris kombinációja
- Spektrális felbontás normális operátorra a komplex számtest felett
- Spektrálfelbontás
- Speciális eset: önadjungált
- Speciális eset: unitér
-
Spektrálfelbontás szimmetrikus transzformációra a valós számtest felett
- Operatornorma
- Spektrálsugár
- A*A kvadratikus alakjanak maximuma az egységgömbön
- Operátornorma
- Önadjungált transzformáció normája
- A*A és AA* spektrálsugara