A Corvinus Egyetem Matematika Tanszéke Lineáris Algebra 1. (ADIN082NMOB) kurzusának weblapja. A kurzus közvetlen folytatása: Lineáris Algebra-2.
Jegyzetek
A tankönyv: Puskás Csaba, Dancs István: Vektorterek.
A könyvben sok sok minden van, amire nem jut majd időnk.
Ezért egy szűkített változat és a gyakorlatokon használt feladatgyűjtemény Puskás tanárúr honlapjáról letölthető.
Egy még tovább szűkített jegyzetet én is írok, amely itt elérhető.
Órarend a 2024-25 tanév őszi félévében
Előadás: Kedd 9-50-11.20.-- E330
Gyakorlat: Kedd 15.30-17.00.-- S2 (G1)
Kedd 17.20-18.50.-- S2 (G3)
Követemények
A kurzus szillabusza letölthető, de itt összefoglalom legfontosabbakat:
- Fogadó órám: hétfő 17.10, S208/B. Kérem előtte lévő nap este 7 óráig jelezzék részvételi szándékukat.
- Az órákon és a gyakorlatokon a megjelenés kötelező;
- Osztályzás:
- A 4.,7.,10.,13, héten dolgozatot írunk 5-5 pontért.
- A téli vizsgaidőszakban esedékes dolgozat 30 pontért. Az így megszerezhető 50 pont képezi az írásbeli jegyet.
- A vizsgaidőszakban szóbeli vizsga, a szóbeli és az írásbeli vizsga átlagaként kapják a végső jegyet.
- Az írásbeli dolgozatok pótlására nincs lehetőség.
Tételjegyzék
- Algebrai struktúrák
- Félcsoport
- Neutrális elemes félcsoport
- Additív multiplikatív írásmód
- Csoport
- Példák csoportokra
- Csoportban egyszerűsítési szabály
- Ábel-csoport
- Gyűrű, egységelemes gyűrű, kommutatív egységelemes gyűrű, nullosztómentes gyűrű
- Test
- Test nullosztómentessége
- Polinomok
- Egy test feletti polinomok, kummutatív egységelemes, nullosztómentes gyűrűt alkotnak
- Polinomok fokszáma
- Polinomok oszthatósága
- Maradékos osztás
- Test feletti polinomgyűrű főideál-gyűrű
- Legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös
- Polinomok gyökei
- Két polinom egyenlőségének algebrai és analízis beli megközelítése
- Legkisebb közös többszörös és legnagyobb közös osztó mint ideálok generátora
- Euklideszi algoritmus
- Bézout-formula
- A legkisebb közös többszörös meghatározása
- Polinomok faktorizációja
- A gyöktényező faktorizálható
- Irreducibilis polinom fogalma
- Minden legalább elsőfokú polinom előáll irreducibilis polinomok szorzataként
- Prim és irreducibilis polinomok
- A polinom faktorizáció egyértelműsége
- Mátrixok
- Mátrixok összege, és számmal való szorzata
- Mátrixok szorzata
- A mátrixszorzat értékelése mint sorok vagy oszlopok lineáris kombinációja
- A mátrixok szorzás asszociativitása
- Komplex számok
- Komplex számtest mint a sík pontjain definiált test
- Algebrai struktúrák izomorfiája
- A valós test beágyazása a komplex testbe
- Normálalak
- Abszolútérték
- Trigonometrikus alak
- Moivre-formula
- Egységgyökök
- Az algebra alaptételének következményei
- Irreducibilis polinom a komplex számtest felett
- Polinomfaktorizáció a komplex számtest felett
- Polinomfaktorizáció a valós számtest felett
- Irreducibilis polinomok a valós számtest felett
- Valódi komplex gyökökből páros sok van.
- Páratlan fokú polinomnak van valós gyöke.
- Vektortér fogalma
- Vektortér mint algebrai struktúra
- Példák vektorterekre
- Alterek
- Generátorrendszer, Generált altér
- Lineáris burok
- Generátorcsere-lemma
- Elimináció
- Lineáris függetlenség
- Lineáris összefüggőség
- Ekvivalens megfogalmazások
- Nem véges rendszer lineáris függetlensége
- Függetlenség
- Ekvivalens megfogalmazások
- Maximális független rendszerek
- Minimális generátorrendszerek
- Függetlenrendszercsere-lemma
- Független és generátorrendszer elemszáma
- Steinitz-lemma
- Feszítőrang
- Rang-tétel
- Bázis
- Végesen generált vektortér
- Bázis létezése
- Dimenzió fogalma
- Báziscsere-lemma
- Altér dimenziója
- Lineáris operátor fogalma
- Magtér, képtér, inverz jellemzése
- Független rendszer képe, generátor rendszer képe
- Izomorf vektorterek
- Koordinátázás
- Végesen generált vektorterek izomorfiája
- Elemi bázistranszformáció
- Direktösszeg
- Minkowski-összeg
- Tulajdonságok
- Az összeg dimenziója
- Direkt összeg értelmes
- Direkt kiegészítő
- Faktortér
- Ekvivalencia reláció
- Oekvivalencia osztály
- Műveletek az ekvivalencia osztályok halmazán
- A faktortér definíciója
- 3 izomorfia tétel
- Rang-defeketus tétel
- Mátrixok
- Mátrixok vektorterének dimenziója
- Mátrixszorzás
- Transzponált
- Bázisfaktorizáció
- Oszlopvektortér bázisa, sorvektortér bázisa
- Homogén lineáris egyenletrendszer megoldása
- Inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldása
- Magtér és képtér
- Magtér és képtér meghatározása
- Lineáris egyenletrendszerek megoldása
- Homogén lineáris egyenletrendszer fogalma
- Ezek ekvivalenciája
- Elemi sorműveletek
- Gauss-Jordan eliminációs lépés
- Homogén lineáris egyenletrendszernek, amelyben az ismeretlenek száma több mint az egyenletek száma, mindig van nem triviális megoldása
- Gauss-Jordan elimináció táblázattal
- Mátrix inverze
- Mátrix kétoldali szorzat tétel
- Regularitás és ekvivalens megfogalmazásai
- Inverz kiszámítása
- Kvadratikus alakok
- Kvadratikus alakok és szimmetrikus mátrixok kapcsolata
- Szimmetrikus mátrixok diádfelbontása eliminációval
- Kvadratikus alakok osztályozása