A Corvinus Egyetem Matematika Tanszéke Algebra 2. kurzusának weblapja. A kurzus közvetlen előzménye: Algebra-1.

Jegyzetek

A tankönyv: Puskás Csaba, Dancs István: Vektorterek.

A könyvben sok sok minden van, amire nem jut majd időnk.
Ezért egy szűkített változat és a gyakorlatokon használt feladatgyűjtemény Puskás tanárúr honlapjáról letölthető.

Egy jegyzetet én is írok, amely itt is elérhető és itt is.

Órarend a 2025-26 tanév tavaszi félévében:

Előadás: Hétfő  9:50-11.20,
         Hétfő 11.40-13.10 (E.236)
Gyakorlat: Csütörtök 8.00-9.30 (E.322),
           Csütörtök 9.50-11.20 (E.309),
           Csütörtök 11.40-13.10 (E.303)

Követemények

A legfontosabbak:

• Az órákon és a gyakorlatokon a megjelenés kötelező;
• Osztályzás:
  • Négy darab dolgozatot írunk 5-5 pontért.
  • A vizsgaidőszak első hetében esedékes dolgozat 30 pontért. Az így megszerezhető 50 pont képezi az írásbeli jegyet.
  • A szóbeli vizsgán való részvétel feltétele, a megszerezhető 50 pontból legalább 7 pont. (Ez alatt automatikus elégtelen a szóbeli vizsga eredménye.)
  • A vizsgaidőszakban szóbeli vizsga, a szóbeli és az írásbeli vizsga átlagaként kapják a végső jegyet.
  • A vizsgán megbeszéljük az írásbeli dolgozat eredményét, így érdemes a gyakorlatokon vett feladatokat is átgondolni vizsga előtt.

Tételjegyzék

Az alábbi tételjegyzéket igyekeztem úgy összeállítani, hogy az időbeli sorrendet is kövesse.

1. Izomorfia tételek

2. Lineáris transzformációk mártrixa
   • Rang-defektus tétel következményei
   • Injektív és szürjektív lineáris transzformációk
   • Lineáris operáció megadása bázison
   • Lineáris operációk vektortere
   • Lineáris operáció mátrixa
   • Operátorok szorzata
   • A szorzat mátrixa
   • Gyűrű-izomorfizmus
3. Általános bázistranszformáció
   • Vektor felírás új bázisban
   • Mátrix felírása új bázisban
   • Inverz mátrix
   • Áttérés mátrixa
4. Invariáns altér fogalma
   • Generált invariáns altér belső és külső reprezentációja
   • Ezek ekvivalenciája
   • Egy vektor által generált invariáns altér meghatározása
   • Egy dimenziós invariáns alterek
5. Lineáris transzformációk polinomja
   • Számolási szabályok
   • Lineáris transzformáció, mint egy polinom gyöke
   • Példák invariáns alterekre
6. Kis-minimálpolinom fogalma
   • Létezés és egyértelműség
   • Kapcsolat egy egy vektor generálta invariáns altérrel
   • Meghatározás eliminációval
   • Kis-minimálpolinom többszörösei
   • Irreducibilis eset
7. Sajátérték és sajátvektor fogalma
   • Definíciók
   • Ekvivalens megfogalmazások
   • Diagonalizálhatóság
   • Különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlensége
   • Szükséges és elegendő feltétel a diagonalizálhatóságra (sajátvektorokból álló bázis)
   • Elegendő feltétel a diagonalizálhatóságra (különböző sajátértékek)
   • Spektrum bevezetése
   • Spektrum számossága
   • Spektrum meghatározása paraméteres eliminációval
8. Minimálpolinom fogalma
   • Létezés és egyértelműség
   • Meghatározás eliminációval
   • Kis-minimálpolinom többszörösei
   • Irreducibilis eset
   • Kapcsolat a kis-minimálpolinommal
9. Transzformációk redukálása
   • A tér előáll mint invariáns alterek direktösszege
10. Transzformációk redukálása irreducibilis minimálpolinom mellett
    • A tér előáll mint azonos dimenziós invariáns alterek direktösszege
    • Irreducibilis polinom magtere mint direktösszeg

11. A minimálpolinom foka legfeljebb a tér dimenziója

12. Nillpotencia bevezetése
    • Nillpotens transzformáció minimálpolinomja
    • Nillpotencia rendje
    • Lemmák a nillpotens felbontási tételhez
13. Nillpotens felbontás
    • A nillpotens felbontási tétel
    • Nillpotens trannszformáció kanonikus alakja

14. Nillpotens transzformáció kanonikus alakjának egyértelműsége

15. Jordan normálalak
    • Visszavezetés a nillpotens kanonikus alakra
    • Diagonalizálhatóság a minimálpolinom gyökeinek multiplicitása szerint
16. [Permutációk](http://web.uni-corvinus.hu/magyarkuti/6-Algebra2.pdf
    • Bástyafelrakások
    • Transzpozíciók
    • Inverziók
    • Permutáció paritása
17. Multilineáris operátorok
    • Antisszemtria és alternáló tulajdonságok
    • Példa n-lineáris antiszimmetrikus függvényre
    • Mátrix determinánsa, transzponált determinánsa
18. Mértékek
    • Tulajdonságok
    • A mértékek tere
    • Lineáris transzformáció determinánsa
    • Kapcsolat a mátrixának determinánsával
    • Szorzat-tétel
19. Kifejtési tétel
    • Sor vagy oszlop szerinti kifejtés
    • Kofaktor mátrix
    • Inverz mátrix felírása
    • Cramer-szabály
20. Karakterisztikus polinom
    • Mátrix nyoma
    • A nyom függetlensége a bázistól
    • Karakterisztikus polinom
    • A karakterisztikus polinom bizonyos együtthatói
    • Kapcsolat a spektrummal
    • Cayley-Hamilton-tétel
21. Skaláris szorzatos terek bevezetése
    • Definíciók, belső szorzat
    • Merőlegesség tulajdonságai
    • Bessel-egyenlőtlenség
    • Schwartz-egyenlőtlenség
    • Skalárisszorzat indukálta norma
    • Távolság és hossz
22. Pythagoras-tétel
    • Pythagoras-tétel
    • Pontnak altértől való távolsága
    • Merőleges vetület
23. Gramm-Schmidt ortogonalizáció
    • Az algoritmus
    • Ortonormált bázis létezése
24. Projekciós tétel
    • A tétel
    • Lineáris burok reprezentációja mint dupla ortokomplementum
    • Az ortokomplementer egyértelműsége

25. Riesz-reprezentáció

26. Ortonomrált rendszer teljessége
    • A teljesség
    • Ekvivalens felírások
    • Véges dimenziós térben csak egy rögzített bázis generálta belsőszorzattal lehet skalárisszorzatot definiálni.
27. Az adjungált operátor
    • Definíció
    • Egyértelműség
    • Az adjungált mátrixa
    • Az adjungált tulajdonságai
28. Az adjungált kapcsolata az ortogonalitással
    • A tétel
    • Rangtétel mint következmény
    • Speciális eset önadjungált transzformációkra
29. Projekciók és ortogonális projekciók
    • Projekció
    • Ortogonális projekció
    • Merőleges vetület mint példa ortogonális projekcióra
    • Merőleges vetület az egyetlen példa ortogonális projekcióra
    • Önadjungált és idempotens transzformációk
30. Ortogonális projekciók merőlegessége
    • Merőlegesség fogalma és ekvivalens megfogalmazások
    • Ortogonális projekciók összege
31. Normális transzformációk
    • Definíció
    • Példák
    • Normális operátor mag és képterének kapcsolata
    • Normális operátor és adjungáltjának spektruma
    • Normális operátor és adjungáltjának közös sajátvektora
    • Diagonalizálhatóság

32. Egymásra merőleges ortogonális projekciók lineáris kombinációja

33. Spektrális felbontás normális operátorra a komplex számtest felett
    • Spektrálfelbontás
    • Speciális eset: önadjungált
    • Speciális eset: unitér

34. Spektrálfelbontás szimmetrikus transzformációra a valós számtest felett

35. Operatornorma
    • Spektrálsugár
    • A*A kvadratikus alakjanak maximuma az egységgömbön
    • Operátornorma
    • Önadjungált transzformáció normája
    • A*A és AA* spektrálsugara