A Corvinus Egyetem Matematika Tanszéke Algebra 1. kurzusának weblapja. A kurzus közvetlen folytatása: Lineáris Algebra-2.

Jegyzetek

A tankönyv: Puskás Csaba, Dancs István: Vektorterek. A könyvben sok sok minden van, amire nem jut majd időnk. Ezért egy szűkített változat és a gyakorlatokon használt feladatgyűjtemény Puskás tanárúr honlapjáról letölthető.
Egy még tovább szűkített én is írok, amely innen is letölthető.

Órarend a 2022-23 tanév őszi félévében

Előadás: Hétfő 15-30-17.00.-- E236
Gyakorlat: Hétfő  17.20-18.50.-- E307 (G1)
           Kedd 13.40-15.10.-- E391 (G2)

Követemények

A kurzus szillabusza letölthető, de itt összefoglalom legfontosabbakat:

• Fogadó órám: szerda 13.40, S208/B. Kérem előtte lévő nap este 7 óráig jelezzék részvételi szándékukat.
• Az órákon és a gyakorlatokon a megjelenés kötelező;
• Osztályzás:
  • A 3.,6.,10.,13, héten dolgozatot írunk 5-5 pontért.
  • A téli vizsgaidőszakban esedékes dolgozat 30 pontért. Az így megszerezhető 50 pont képezi az írásbeli jegyet.
  • A vizsgaidőszakban szóbeli vizsga, a szóbeli és az írásbeli vizsga átlagaként kapják a végső jegyet.

Az órákon használt anyagok és tételjegyzék

1. Algebrai struktúrák
   • Félcsoport
   • Neutrális elemes félcsoport
   • Additív multiplikatív írásmód
   • Csoport
   • Példák csoportokra
   • Csoportban egyszerűsítési szabály
   • Ábel-csoport
   • Gyűrű, egységelemes gyűrű, kommutatív egységelemes gyűrű, nullosztómentes gyűrű
   • Test
   • Test nullosztómentessége
2. Polinomok
   • Egy test feletti polinomok, kummutatív egységelemes, nullosztómentes gyűrűt alkotnak
   • Polinomok fokszáma
   • Polinomok oszthatósága
   • Maradékos osztás
   • Test feletti polinomgyűrű főideál-gyűrű
3. Legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös
   • Polinomok gyökei
   • Két polinom egyenlőségének algebrai és analízis beli megközelítése
   • Legkisebb közös törbbszörös és legnagyobb közös osztó létezése
   • Euklideszi algoritmus
   • Bézout-formula
4. Polinomok faktorizációja
   • A gyöktényező faktorizálható
   • Irreducibilis polinom fogalma
   • Minden legalább elsőfokú polinom előáll irreducibilis polinomok szorzataként
   • Prim és irreducibilis polinomok
   • A polinom faktorizáció egyértelműsége
5. Mátrixok
   • Mátrixok összege, és számmal való szorzata
   • Mátrixok szorzata
   • A mátrixszorzat értékelése mint sorok vagy oszlopok lineáris kombinációja
   • A mátrixok szorzás asszociativitása
6. Komplex számok
   • Komplex számtest mint a sík pontjain definiált test
   • Algebrai struktúrák izomorfiája
   • A valós test beágyazása a komplex testbe
   • Normálalak
   • Abszolútérték
   • Trigonometrikus alak
   • Moivre-formula
   • Egységgyökök
7. Az algebra alaptételének következményei
   • Irreducibilis polinom a komplex számtest felett
   • Polinomfaktorizáció a komplex számtest felett
   • Polinomfaktorizáció a valós számtest felett
   • Irreducibilis polinomok a valós számtest felett
   • Valódi komplex gyökökből páros sok van.
   • Páratlan fokú polinomnak van valós gyöke.
8. Vektortér fogalma
   • Vektortér mint algebrai struktúra
   • Példák vektorterekre
   • Alterek
   • Generátorrendszer, Generált altér
   • Lineáris burok
   • Generátorcsere-lemma
   • Elimináció
9. Lineáris függetlenség
   • Lineáris összefüggőség
   • Ekvivalens megfogalmazások
   • Nem véges rendszer lineáris függetlensége
   • Függetlenség
   • Ekvivalens megfogalmazások
   • Maximális független rendszerek
   • Minimális generátorrendszerek
   • Függetlenrendszercsere-lemma
10. Független és generátorrendszer elemszáma
    • Steinitz-lemma
    • Feszítőrang
    • Rang-tétel
    • Bázis
    • Végesen generált vektortér
    • Bázis létezése
    • Dimenzió fogalma
    • Báziscsere-lemma
    • Altér dimenziója
11. Lineáris operátor fogalma
    • Magtér, képtér, inverz jellemzése
    • Független rendszer képe, generátor rendszer képe
    • Izomorf vektorterek
    • Koordinátázás
    • Végesen generált vektorterek izomorfiája
    • Elemi bázistranszformáció
12. Direktösszeg
    • Minkowski-összeg
    • Tulajdonságok
    • Az összeg dimenziója
    • Direkt összeg értelmes
    • Direkt kiegészítő
13. Faktortér
    • Ekvivalencia reláció
    • Oekvivalencia osztály
    • Műveletek az ekvivalencia osztályok halmazán
    • A faktortér definíciója
    • 3 izomorfia tétel
    • Rang-defeketus tétel
14. Mátrixok
    • Mátrixok vektorterének dimenziója
    • Mátrixszorzás
    • Transzponált
    • Bázisfaktorizáció
    • Oszlopvektortér bázisa, sorvektortér bázisa
    • Homogén lineáris egyenletrendszer megoldása
    • Inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldása
    • Magtér és képtér
    • Magtér és képtér meghatározása
15. Lineáris egyenletrendszerek megoldása
    • Homogén lineáris egyenletrendszer fogalma
    • Ezek ekvivalenciája
    • Elemi sorműveletek
    • Gauss-Jordan eliminációs lépés
    • Homogén lineáris egyenletrendszernek, amelyben az ismeretlenek száma több mint az egyenletek száma, mindig van nem triviális megoldása
    • Gauss-Jordan elimináció táblázattal
16. Kvadratikus alakok
    • Kvadratikus alakok és szimmetrikus mátrixok kapcsolata
    • Szimmetrikus mátrixok diádfelbontása eliminációval
    • Kvadratikus alakok osztályozása