Jegyzetek, megjegyzések, vizsgák

Az órákon elhangzott fontosabb fogalmak (Tételjegyzék)

  1. Halmazrendszerek
    • Buroktér, példa burokterekre
    • Lezárási operáció buroktéren, legfontosabb tulajdonságai
    • Félgyűrű
    • Gyűrű, Algebra
    • \(\sigma\)-gyűrű, \(\sigma\)-algebra
    • Monoton osztály
    • Gyűrű monoton osztály burka gyűrű marad
  2. Mértéktér és legegyszerűbb tulajdonságai
    • A szigma additív függvény fogalma. (Vigyázat: az értelmezési tartomány nem feltétlenül szigma-algebra)
    • A mértéktér definíciója
    • A mérték:
      • Végesen additív
      • Monoton
      • Szubtraktív
      • Szigma-szubadditív
      • Monoton folytonos
    • Félgyűrűn értelmezett mérték egyféleképpen terjeszthető ki a generált gyűrűre
  3. Mérhetőség és a legegyszerűbb tulajdonságok
    • Topologikus tér Borel-halmazainak definíciója
    • Borel-halmazok szigma-algebrájának generátorrendszerei
    • Speciális estek, \(\mathbb{R}\) és \(\mathbb{R}^n\) ellátva az euklideszi metrikával
    • Függvények mérhetősége, Borel-mérhetősége
    • Folytonos függvény Borel-mérhető
    • Mérhető függvények kompozíciója is mérhető
    • Valós függvények mérhetőségének ekivalens megfogalmazásai
    • Karakterisztikus függvény mérhetősége
    • Mérhető függvények összege, szorzata, hányadosa mérhető
    • Mérhető függvények supremuma, infimuma, limsup-ja, liminf-je, határértéke mérhető
  4. Egyszerű függvények
    • Fogalma és kanonikus alakja
    • Minden nem megatív mérhető függvény előáll mint egyszerű függvények monoton növekvő pontonkénti határértéke
    • Egyszerű függvények integrálja
      • Az integrál értelmezése
      • Tetszőleges egyszerű függvény integrálfüggvénye mérték
      • Az integrál végesen additivitása
      • Az integrál monotonitása
      • Nem kanonikus alakú egyszerű függvény integrálja
  5. Nem negatív mérhető függvények integrálja
    • Az integrál definíciója
    • Majdnem mindenütt zérus függvény integrálja nulla
    • Az integrál monotonitása
    • Mérhető halmazon vett függvény integrálja
    • Monoton konvergencia, (Beppo-Levi) -tétel
      • Az integrál végesen additivitása
      • Integrál és végtelen összeg felcserélhetősége
      • Fatou-lemma
      • Nem negatív mérhető függvény integrál függvénye is mérték
        • A fenti mérték szerinti integrálás
        • Abszolút folytonos mérték fogalma
  6. Mérhető függvények integrálja
    • Majdnem mindenütt ilyen-olyan tulajdonság
    • Mértékek teljessé tétele
    • Az integrál fogalma
    • A Riemann-improprius integrál és a Lebesgue integrál kapcsolata
    • Az integrál homogenitása és additivitása
    • Az \(L_{1}\) ,,függvény osztály’’ definíciója
    • Az integrál egy pozitív lineáris funkcionál \(L_{1}\) -en
    • Az \(L_{1}\) normált tér
    • Egy \(L_{1}\)-beli függvény majdnem minden pontban véges
    • Ha egy mérhető függvény minden mérhető halmazon vett integrálja \(0\), akkor a függvény majdnem mindenütt zérus
    • Majorált konvergencia tétel függvénysorozatokra
    • Majorált konvergencia tétel függvény sorokra
    • A \(l_1\) normált tér definíciója, és az integrálhatóság jelentése
  7. A Caratheodory-féle kiterjesztési eljárás
    • Külső mérték definíciója
    • A generált külső mérték
    • Caratheodory-értelemben mérhető halmaz definíciója
    • Külső mérték megszorítása a Caratheodory-értelemben vett mérhető halmazokra egy teljes mértékteret ad
    • Kiterjesztési tétel
    • Az unicitás \(\sigma\)-véges esetben
  8. Lebesgue-mérték
    • A Lebesgue-mérték definíciója
    • Példa nem Lebesque-mérhető halmazra
    • A Lebesgue-mérhető halmazok számossága azonos a valós számok hatványhalmazának számosságával
    • Riemann-integrálhatóság és Lebesque-integrálhatóság kapcsolata
    • A Lebesque-külsőmérték kívülről nyílt-reguláris
    • Lebesgue-mérhető halmazok approximációja:
      • nyílt és zárt;
      • \(\mathcal{G}_\delta\) és \(\mathcal{F}_\sigma\) tipusú halmazokkal.
  9. Fubini-tétel
    • Véges sok \(\sigma\)-véges mértéktér szorzata
    • Halmaz és függvény szelete
    • Szorzat mérhető halmaz minden szelete is mérhető
    • Szorzat mérhető függvény minden szelete is mérhető
    • Fubini tulajdonságú függvények
    • Fubini tétele:
      • mérhető halmazokra;
      • nem negatív mérhető függvényekre
      • \(L_1\)-beli függvényekre
      • Ellenpélda az \(L_1\) szükségszerűségére
  10. Egyenlőtlenségek
    • Jensen-egyenlőtlenség
    • Hölder-egyenlőtlenség
    • Minkowski-egyenlőtlenség
    • Az \(L_\infty\) terek
    • Az \(L_p\) terek definíciója
    • Az \(L_p\) tér normált tér.
    • Az \(\mathbb{R}^n\) tér mint speciális \(L_p\) tér.
    • A \(l_p\) terek
  11. \(L_p\) terek teljessége
    • Riesz-lemma:\(L_p\)-ben Cauchy sorozatnak létezik pontonként konvergens részsorozata
    • Riesz-Fisher tétel az \(L_p\) terek teljességéről
  12. Hilbert tér lineáris funkcionáljainak reprezentációja
    • Hilbert nem üres, konvex zárt halmazának van legkisebb normájú pontja.
    • Konvex zárt halmazra való projekció definíciója Hilbert terekben
    • Hilbert-tér zárt alterére vonatkozó projekciós tétel
    • Riesz reprezentációs tétel Hilbert-térben
  13. Radon-Nikodym-tétel
    • Szinguláris és abszolút folytonos előjeles mértékek
    • Radon-Nikodym-tétel (Neumann János bizonyításával)
    • Lebesgue felbontási tétele
  14. Jordan-felbontás
    • Komplex mérték definíciója
    • Komplex mérték teljes változása
    • A teljes változás nem negatív mérték
    • A teljes változás nem negatív véges mérték
    • Mérték negatív- és pozitív változása
    • Véges nem negatív mérték pozitív változása és negatív változása véges nem negatív mérték
    • Minden véges előjeles mérték előáll mint a pozitív változása és a negatív változása különbségeként, valamint a teljes változás a pozitív változása és a negatív változása összegeként
    • Radon-Nikodym-tétel véges előjeles mértékre
    • Integrál mérték teljes változása, pozitív változása, negatív változása
  15. Hahn-felbontás
    • Integrál mértek negatív változásának, pozitív változásának, teljes változásának integrál alakja
    • Hahn–felbontási tétel
  16. \(L_p\) duálisa
    • Példa \(L_p\)-n értlemezett folytonos lineáris funkcionálra
    • Véges mérték tér mellett \(L_p\) duálisa \(L_q\), ahol \(p\geq 1\)
    • \(L_1\) duálisa \(L_\infty\) ha a mértéktér \(\sigma\)-véges
    • \(L_p\) duálisa \(L_q\) tetszőleges mérték mellett ha \(p>1\)
  17. Valószínűségszámítás alapdefiníciói
    • Valószínűségi mező
    • Valószínűségi változó
    • Valószínűségi változó várható értéke
    • Valószínűségi változó eloszlása
    • Abszolút folytonos valószínűségi változó fogalma és sűrűségfüggvénye mint egy Radon-Nikodym derivált
    • Valószínűségi változónak pozitív valószínűségű eseményre vonatkozó várható értéke
    • Valószínűségi változónak megszámlálható partíció generálta \(\sigma\)-algebrára vonatkozó várható értéke
    • Valószínűségi változónak \(\sigma\)-algebrára vonatkozó várható értéke, mint Radon-Nikodym derivált